Question

6．已知$|{\overrightarrow a}|=4，|{\overrightarrow b}|=5，\overrightarrow c=λ\overrightarrow a+μ\overrightarrow b（λ，μ∈$R），若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b，\overrightarrow c⊥（{\overrightarrow b-\overrightarrow a}）$，则$\frac{λ}{μ}$=$\frac{25}{16}$．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，且|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=5，可设$\overrightarrow{a}$=（4，0），$\overrightarrow{b}$=（0，5）．再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，且|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=5，
∴可设$\overrightarrow{a}$=（4，0），$\overrightarrow{b}$=（0，5）．
∴$\overrightarrow{c}$=（4λ，5μ）．
∵$\overrightarrow{c}$⊥（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$）．
∴$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$）=-16λ+25μ=0．
∴$\frac{λ}{μ}$=$\frac{25}{16}$．
故答案为：$\frac{25}{16}$．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．