题目内容

袋子中共有12个球，其中有5个黑球，4个白球，3个红球，从中任取2个球（假设取到每个球的可能性都相同）．已知每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分．用ξ表示任取2个球的得分的差的绝对值．
（1）求椭机变量ξ的分布列及ξ的数学期望Eξ；
（2）记“不等式ξx2-ξx+
1
2
＞0的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．
考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式
专题：概率与统计
分析：（1）由已知可得ξ的取值为0，1，2，利用排列组合分别求出P（ξ）的值，写出分布列求出数学期望即可．
（2）显然ξ=0时不等式成立；若ξ≠0，利用判别式，解集是实数集，则△＜0，求出ξ的值，根据互斥概率公式计算即可．
解答： 解：（1）由已知可得ξ的取值为：0，1，2，
P(ξ=0)=
C
2
5
+
C
2
4
+
C
2
3
C
2
12
=
19
66
，
P(ξ=1)=
C
1
5
C
1
4
+
C
1
4
C
1
3
C
2
12
=
32
66
，
P(ξ=2)=
C
1
5
C
1
3
C
2
12
=
15
66
，(4分)

∴ξ的概率分布列为：
ξ012
P
19
66
16
33
5
22
∴ξ的数学期望为Eξ=0×
19
66
+1×
16
33
+2×
5
22
=
31
33

（2）显然ξ=0时不等式成立；
若ξ≠0，则有
ξ＞0
△=ξ2-4ξ×
1
2
＜0

解得0＜ξ＜2，
∴P(A)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=
19
66
+
32
66
=
51
66
(12分)
点评：本题主要考查了随机变量的分布列和数学期望，以及互斥事件的概率，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）在单位圆O上，∠xOA=α，且α∈（
π
6
，
π
2
）．
（1）若cos（α+
π
3
）=-
11
13
，求x1的值；
（2）若B（x2，y2）也是单位圆O上的点，且∠AOB=
π
3
．过点A、B分别做x轴的垂线，垂足为C、D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．设f（α）=S1+S2，求函数f（α）的最大值．
试用tan
α
2
表示sinα，并证明．
某公司在一次年会上举行了有奖问答活动，会议组织者准备了10道题目，其中6道选择题，4道填空题，公司一职员从中任取3道题解答．
（1）求该职员至少取到1道填空题的概率；
（2）已知所取的3道题中有2道选择题，道填空题．设该职员答对选择题的概率都是
4
5
，答对每道填空题的概率都是
3
5
，且各题答对与否相互独立．用X表示该职员答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
某校举办一场篮球投篮选拔比赛，比赛的规则如下：每个选手先后在二分区、三分区和中场跳球区三个位置各投一球，只有当前一次球投进后才能投下一次，三次全投进就算胜出，否则即被淘汰．已知某选手在二分区投中球的概率为
4
5
，在三分区投中球的概率为
3
5
，在中场跳球区投中球的概率为
2
5
，且在各位置投球是否投进互不影响．
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在比赛中投球的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．（注：本小题结果可用分数表示）
如图所示，已知△ABC是等边三角形，EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，且EC、DB在平面ABC的同侧，M为EA的中点，CE=2BD．
（Ⅰ）求证：MD∥面ABC；
（Ⅱ）求证：平面DEA⊥平面ECA．
已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=3，an=2Sn+1+3n（n∈N*，n≥2）．
（1）求证：数列{
Sn
3n
}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）令bn=
2n2-5n-3
an
，如果对任意n∈N*，都有bn+
2
9
t＜t2成立，求实数t的取值范围．
在（2x+
1
x2
）n的展开式中，第三项的二项式系数比第二项的二项式系数大27，求展开式中的常数项及系数最大的项．
若一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为
 
．

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