Question

在（2x+

1

x2

）ⁿ的展开式中，第三项的二项式系数比第二项的二项式系数大27，求展开式中的常数项及系数最大的项．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：由条件求得n=9，可得展开式的通项公式，在二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．再根据二项式展开式的通项公式，求得系数最大的项．

解答： 解：由已知得：

C

2 n

-

C

1 n

=27，化简得：n²-3n-54=0，
解得：n=9，n=-6（舍）．
故展开式的通项公式为Tr+1=

C

r 9

(2x)9-rx-2r=

C

r 9

29-rx9-3r，令9-3r=0，则r=3，
∴T4=

C

3 9

26=5376，故展开式的常数项为5376．
（2）若设第r+1项的系数最大，则有：

C r 9 29-r≥ C r-1 9 29-r+1 C r 9 29-r≥ C r+1 9 29-r-1

．
解得：

7

3

≤r≤

10

3

，∴r∈Z，∴r=3，∴T₄=5376为系数最大项．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．