Question

如图所示，已知△ABC是等边三角形，EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，且EC、DB在平面ABC的同侧，M为EA的中点，CE=2BD．
（Ⅰ）求证：MD∥面ABC；
（Ⅱ）求证：平面DEA⊥平面ECA．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AC中点N，连结MN、BN，由已知条件推导出四边形MNBD是平行四边形，由此能证明MD∥面ABC．
（Ⅱ）由已知条件推导出平面AEC⊥平面ABC，从而得到BN⊥平面ECA，由此能证明平面DEA⊥平面ECA．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图，取AC中点N，连结MN、BN，
∵EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，∴EC∥BD．…（2分）
△ECA中，M、N分别是EA、CA中点，∴MN∥EC，
且MN=

1

2

EC．又∵EC=2BD，∴MN∥BD且MN=BD．
∴四边形MNBD是平行四边形．…（4分）
∴MD∥BN．，又MD?面ABC，BN?面ABC，
∴MD∥面ABC；…（6分）
（Ⅱ）证明：∵正三角形ABC中，N是AC中点，
∴BN⊥AC．…（8分）
又∵EC⊥平面ABC，平面AEC⊥平面ABC，
且交线为AC，BN?面ABC，∴BN⊥平面ECA．…（10分）
而MD∥BN．∴MD⊥平面ECA，
∵MD⊆面AED，∴平面DEA⊥平面ECA．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．