Question

若一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：设球心到底面的距离为x，则底面边长为

9-x2

，高为x+3，表示出体积，利用导数求最值，即可得出结论．

解答： 解：设球心到底面的距离为x，则底面边长为

9-x2

，高为x+3，则
V=

1

3

•

3

4

（9-x²）•6（x+3）=

3

2

（-x³-3x²+9x+27），其中0＜x＜3，
V′=0，可得x²+2x-3=0，解得x=1或x=-3（舍去）
∴V_max=V（1）=

3

2

（-1-3+9+27）=16

3

．
故答案为：16

3

．

点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查导数知识的运用，确定体积的表达式是关键．