Question

证明：?n∈N⁺，ln（

1

n

+1）＞

1

n2

-

1

n3

恒成立．

Answer 1

考点：不等式的基本性质

专题：导数的概念及应用,不等式的解法及应用

分析：首先，构造函数f（x）=x³-x²+ln（1+x），然后，求解导数，判断其单调性f（x）在（0，+∞）上单调递增，然后，得到f（x）＞f（0）=0，最后，令x=

1

n

上式也成立，所以命题得证．

解答： 证明：∵f（x）=x³-x²+ln（1+x）
则f'（x）=

3x2+(x-1)2

x+1

，
当x＞0时g'（x）＞0恒成立，
于是f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）＞f（0）=0
而

1

n

∈（0，1]，所以令x=

1

n

上式也成立，
∴ln（

1

n

+1）-

1

n2

+

1

n3

＜0恒成立．
上式化简即得ln（

1

n

+1）＞

1

n2

-

1

n3

恒成立．

点评：本题重点考查了函数与导数、会利用导数研究函数的单调性，会利用函数的单调性证明不等式等知识，属于中档题，解题关键是辅助函数．