Question

已知函数g（x）=ax²-4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值-2．设f（x）=

g(x)

x

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-2，2]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,其他不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数的单调性得到方程组从而求出a，b的值；
（Ⅱ）将问题转化为k≤1+(

1

2x

)2-4•（

1

2x

），令t=

1

2x

，则1+(

1

2x

)2-4•(

1

2x

)=t²-4t+1，令h（t）=t²-4t+1，t∈[

1

4

，4]，从而得到答案．

解答： 解：（Ⅰ）由题知g（x）=a（x-2）²-4a+b，
∵a＞0，∴g（x）在[0，1]上是减函数，∴

g(0)=1 g(1)=-2

，解得 

a=1 b=1

；
（Ⅱ）由于f（2^x）-k•2^x≥0，则有2^x+

1

2x

-4-k•2^x≥0，
整理得k≤1+(

1

2x

)2-4•（

1

2x

），
令t=

1

2x

，则1+(

1

2x

)2-4•(

1

2x

)=t²-4t+1，
∵x∈[-2，2]，∴t∈[

1

4

，4]，
令h（t）=t²-4t+1，t∈[

1

4

，4]，
则h（t）∈[-3，1]．
∵k≤h（t）有解∴k≤1
故符合条件的实数k的取值范围为（-∞，1]．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了转化思想，考查了求函数的最值问题，是一道中档题．