Question

求函数y=（sinx+m）（cosx+m）的最大值与最小值，其中0＜m≤

2

．

Answer 1

考点：三角函数的最值,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：将函数式展开，再令t=sinx+cosx，求出范围，再配方可得sinxcosx，进而转化为二次函数在闭区间上的最值问题，讨论对称轴与区间的关系，以及两端点的函数值的大小，即可得到最值．

解答： 解：函数y=（sinx+m）（cosx+m）=sinxcosx+m（sinx+cosx）+m²，
令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，
则t²=1+2sinxcosx，即有sinxcosx=

t2-1

2

，
则y=

t2-1

2

+mt+m²=

1

2

（t+m）²+

1

2

m²-

1

2

，
由于对称轴t=-m∈[-

2

，0），
即有当t=-m时，y取得最小值，且为

1

2

m²-

1

2

，
当t=-

2

时，y=

1

2

-

2

m+m²，
当t=

2

时，y=

1

2

+

2

m+m²，
由m＞0，则

1

2

+

2

m+m²＞

1

2

-

2

m+m²，
即有当t=

2

时，y取得最大值，且为

1

2

+

2

m+m²．
即有函数的最小值为

1

2

m²-

1

2

，最大值为

1

2

+

2

m+m²．

点评：本题考查三角函数的最值的求法，考查二次函数在闭区间上的最值，考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．