Question

已知f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx-1
（1）求函数y=f（x）的最小正周期及其图象的对称中心；
（2）求函数f（x）在区间[0，

2π

3

]上的取值范围；
（3）若x∈[0，m]时，有y=f（x）的值域为[1，2]，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简求函数y=f（x）的最小正周期及其图象的对称中心；
（2）根据三角函数的图象和性质，求函数f（x）在区间[0，

2π

3

]上的取值范围；
（3）若x∈[0，m]时，求出2x+

π

6

的范围，结合y=f（x）的值域为[1，2]，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx-1=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）
则函数y=f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
由2x+

π

6

=kπ，解得x=

kπ

2

-

π

12

，k∈Z，
即函数图象的对称中心为（

kπ

2

-

π

12

，0）k∈Z；
（2）∵0≤x≤

2π

3

，∴0≤2x≤

4π

3

，

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，则1≤2sin（2x+

π

6

）≤2，
即函数f（x）在区间[0，

2π

3

]上的取值范围是[1，2]；
（3）若x∈[0，m]时，则0≤2x≤2m，

π

6

≤2x+

π

6

≤2m+

π

6

，
∵当2x+

π

6

=

π

6

时，f（x）=2sin（2x+

π

6

）=1，
若y=f（x）的值域为[1，2]，
则

π

2

≤2m+

π

6

≤

5π

6

，
即

π

6

≤m≤

π

3

，
即实数m的取值范围是[

π

6

，

π

3

]．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简，考查学生的运算能力．