Question

已知数列{a_n}，{b_n}分别满足a₁a₂…a_n=n（n-1）…2•1，b₁+b₂+…+b_n=a_n²．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{

1

bnbn+1

}的前n项和为S_n，若对任意x∈R，a_nS_n＞-x²-2x+9恒成立，求自然数n的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a₁a₂…a_n=n（n-1）…2•1，得a₁a₂…a_n-1=（n-1）（n-2）…2•1，n≥2，两式相除得a_n=n；由b₁+b₂+…+b_n=a_n²=n²，得b₁+b₂+…+b_n-1=（n-1）²，两式相减得b_n=2n-1．
（2）由

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和法能求出对任意x∈R，a_nS_n＞-x²-2x+9恒成立的自然数n的最小值．

解答： 解：（1）由a₁a₂…a_n=n（n-1）…2•1，
得a₁a₂…a_n-1=（n-1）（n-2）…2•1，n≥2，
两式相除得a_n=n，n≥2，又n=1时，a₁=1，满足上式，
∴a_n=n．…（3分）
由b₁+b₂+…+b_n=a_n²=n²，得b₁+b₂+…+b_n-1=（n-1）²，
∴b_n=n²-（n-1）²=2n-1，（n≥2），
又b₁=1，故b_n=2n-1．…（7分）
（2）∵

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

，
∴nS_n=

n2

2n+1

，而g（x）=-x²-2x+9的最大值为10，
f（n）=

n2

2n+1

＞10恒成立即可，
n²＞10（2n+1），
∴n²-20n-10＞0，解得n≥21，
∴n的最小值为21．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的自然数的最小值的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．