Question

函数f（x）=

x

1+x

（x＞0），数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=

1

2

，a_n+1=f（a_n），函数y=f（x）的图象在点（n，f（n））（n∈N^*）处的切线在y轴上的截距为b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{

bn

an2

-

λ

an

}的项中仅

b5

a52

-

λ

a5

最小，求λ的取值范围；
（3）若函数g（x）=

x

1-x

，令函数h（x）=[f（x）+g（x）]•

1-x2

1+x2

，0＜x＜1，数列{x_n}满足：x₁=

1

2

，0＜x_n＜1且x_n+1=h（x_n）其中n∈N^*．证明：

(x1-x2)2

x1x2

+

(x2-x3)2

x2x3

+…

(xn+1-xn)2

xnxn+1

＜

2 +1

8

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

1

an+1

-

1

an

=1，由此能求出a_n=

1

n+1

．
（2）由已知得y=f（x）在点（n，f（n））处的切线方程为y-

n

n+1

=

1

(1+n)2

（x-n），从而

bn

an2

-

λ

an

=n²-λ（n+1）=（n-

λ

2

）²-λ-

λ2

4

，由此能求出λ的取值范围．
（3）h（x）=

2x

1+x2

，0＜x＜1，从而x_n+1-x_n=x_n（1-x_n）•

1+xn

xn2+1

＜

2 +1

8

，由此能证明

(x1-x2)2

x1x2

+

(x2-x3)2

x2x3

+…

(xn+1-xn)2

xnxn+1

=

2 +1

8

(2-

1

xn+1

)＜

2 +1

8

．

解答： （本小题满分14分）
（1）解：∵an+1=f(an)=

an

1+an

，
∴

1

an+1

-

1

an

=1，
∴{

1

an

}是以2为首项，1为公差的等差数列，
故a_n=

1

n+1

．…（3分）
（2）解：∵f（x）=

x

1+x

（x＞0），∴f′（x）=

1

(x+1)2

，
∴y=f（x）在点（n，f（n））处的切线方程为y-

n

n+1

=

1

(1+n)2

（x-n），
令x=0，得b_n=

n2

(1+n)2

，
∴

bn

an2

-

λ

an

=n²-λ（n+1）=（n-

λ

2

）²-λ-

λ2

4

，
∵仅当n=5时，取得最小值，∴4.5＜

λ

2

＜5.5，
∴λ的取值范围为（9，11）．…（6分）
（3）证明：h（x）=[f（x）+g（x）]•

1-x2

1+x2

=（

x

1+x

+

x

1-x

）•

1-x2

1+x2

=

2x

1+x2

，0＜x＜1，
∴x_n+1-x_n=x_n（1-x_n）•

1+xn

xn2+1

，
又∵0＜x_nx_n，
∴1＞x_n+1＞x_n＞…＞x₂＞

1

2

，…（8分）
x_n+1-x_n=xn(1-xn)•

1+xn

xn2+1

≤

1

4

•

1

xn+1+ 2 xn+1 -2

＜

1

4

•

2

2 2 -2

=

2 +1

8

，
∴

(xn+1-xn)2

xnxn+1

=

xn+1-xn

xnxn+1

(xn+1-xn)=(xn+1-xn)(

1

xn

-

1

xn+1

)＜

2 +1

8

(

1

xn

-

1

xn+1

)，
∴

(x1-x2)2

x1x2

+

(x2-x3)2

x2x3

+…+

(xn+1-xn)2

xnxn+n

＜

2 +1

8

（

1

x1

-

1

x2

+

1

x2

-

1

x3

+…+

1

xn

-

1

xn+1

）
=

2 +1

8

(x1-

1

xn+1

)
=

2 +1

8

（2-

1

xn+1

），…（12分）
∵

1

2

＜xn+1＜1，∴1＜

1

xn+1

＜2，∴0＜2-

1

xn+1

＜1，
∴

(x1-x2)2

x1x2

+

(x2-x3)2

x2x3

+…

(xn+1-xn)2

xnxn+1

=

2 +1

8

(2-

1

xn+1

)＜

2 +1

8

．…（14分）

点评：本题考查数列{a_n}的通项公式的求法，考查λ的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．