Question

2．已知下列三角形数表假设第行的第二个数为a_n（n≥2，n∈N^*）．
（1）依次写出第六行的所有数字；
（2）归纳出a_n+1与a_n的关系式并求出a_n的通项公式；
（3）设a_n•b_n=1，求证：b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2．

Answer 1

分析 （1）每行的第一个数为所在的行数，从第二项起，每个元素为上行两个相邻元素的和，即可求得第六行的所有数字；
（2）由题意可知a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2，则a_n-a_n-1=n-1（n≥3），累加即可求得a_n，当n=2时，${a_2}=\frac{1}{2}×{2^2}-\frac{1}{2}×2+1\;\;=2$，也满足上述等式，即可求得a_n的通项公式；
（3）由题意可知：${b_n}=\frac{2}{{{n^2}-n+2}}＜\frac{2}{{{n^2}-n}}=2（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$，采用“裂项法”即可求得b₁+b₂+b₃+…+b_n=2（1-$\frac{1}{n}$）$2（1-\frac{1}{n}）＜2$＜2．

解答 解：（1）第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6；--------（2分）
（2）依题意a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2---（4分）
a_n-a_n-1=n-1（n≥3），
a₃-a₂=2a_n=a₂+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1），
=$2+2+3+…+（n-1）=2+\frac{（n-2）（n+1）}{2}$，
∴${a_n}=\frac{1}{2}{n^2}-\frac{1}{2}n+1\;\;\;（n≥3）$；-------（7分）
当n=2时，${a_2}=\frac{1}{2}×{2^2}-\frac{1}{2}×2+1\;\;=2$，
也满足上述等式
所以${a_n}=\frac{1}{2}{n^2}-\frac{1}{2}n+1\;\;\;（n≥2）$-------（8分）
（3）证明：因为a_nb_n=1，则${b_n}=\frac{2}{{{n^2}-n+2}}＜\frac{2}{{{n^2}-n}}=2（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$-------（11分）
${b_2}+{b_3}+{b_4}+…+{b_n}＜2[（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$=$2（1-\frac{1}{n}）＜2$，
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2．--（12分）

点评 本题考查数列的综合应用，考查数列通项公式的求法，“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．