题目内容
已知椭圆
+
=1（a＞b＞0），P（x，y），Q（x′，y′）是椭圆上异于顶点的两点，有下列四个不等式
①a2+b2≥（x+y）2；
②
+
≥（
+
）2；
③4（
）2≤（
）2；
④
+
≤1．
其中不等式恒成立的序号是 ．（填所有正确命题的序号）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
①a2+b2≥（x+y）2；
②
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| y2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
③4（
| x |
| a |
| b |
| y |
④
| xx′ |
| a2 |
| yy′ |
| b2 |
其中不等式恒成立的序号是
考点：椭圆的简单性质,不等式比较大小
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：利用三角换元，即可得出结论．
解答：
解：设x=asinα，y=bcosα，则x+y=
sin（α+θ），∴a2+b2≥（x+y）2，即①正确；
（
+
）a2b2=（
+
）a2b2=（sin2α+cos2α）（
+
）≥（a+b）2，
∴
+
≥（
+
）2，即②正确；
=4b2sin2αcos2α=b2sin22α≤b2，即③正确；
设x′=acosβ，y′=bsinβ，∴
+
=sin（α+β）≤1，即④正确．
故答案为：①②③④．
| a2+b2 |
（
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| y2 |
| 1 |
| a2sin2α |
| 1 |
| b2cos2α |
| b2 |
| sin2α |
| a2 |
| cos2α |
∴
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| y2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 4x2y2 |
| a2 |
设x′=acosβ，y′=bsinβ，∴
| xx′ |
| a2 |
| yy′ |
| b2 |
故答案为：①②③④．
点评：本题考查椭圆方程，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
则（ ）（参考公式：s2=
[（x1-
）2+（x2-
）2+…+（xn-
）2]）
| 甲 | 60 | 80 | 70 | 90 | 70 |
| 乙 | 80 | 60 | 70 | 80 | 75 |
| 1 |
| n |
. |
| x |
. |
| x |
. |
| x |
| A、甲的方差较大，甲的各门功课发展较平衡 |
| B、乙的方差较大，乙的各门功课发展较平衡 |
| C、乙的方差较大，甲的各门功课发展较平衡 |
| D、甲的方差较大，乙的各门功课发展较平衡 |
设{an}是等比数列，函数y=x2-x-2013的两个零点是a2，a3，则a1a4=（ ）
| A、2013 | B、1 |
| C、-1 | D、-2013 |