Question

已知F₁，F₂是中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的左右焦点，以原点为圆心，以半焦距c为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为A，与y轴正半轴交点为B，点A在y轴上的射影为H，且

OH

=（3+2

3

）

HB

，则双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先根据题意得到方程，建立方程组以向量的坐标相等为突破口，通过运算求的离心率．

解答： 解：设双曲线的标准方程：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
以原点为圆心，以半焦距c为半径的圆的方程：x²+y²=c²
建立方程组：

x2+y2=c2 x2 a2 - y2 b2 =1

解得：y=

b2

c

则：H（0，

b2

c

），B（ 0，c）

HB

=(0，c-

b2

c

)=(0，

a2

c

)，

OH

=(0，

b2

c

)
∵

OH

=（3+2

3

）

HB

∴(0，

b2

c

)=(3+2

3

)(0，

a2

c

)3
解得：

b2

a2

=3+2

3

b2+a2

a2

=3+2

3

+1

c2

a2

=(

3

+1)2
即：e=

3

+1
故答案为：

3

+1

点评：本题考查的知识点：双曲线方程，圆的方程，向量的坐标运算，双曲线的离心率及相关的运算问题．