Question

如图在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=CC₁=6，BC=8，AB=10，点D是A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AC₁；
（Ⅱ）求证：B₁C∥平面ADC₁．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明BC⊥AC，CC₁⊥BC，可得BC⊥平面AC₁，即可证明BC⊥AC₁；
（Ⅱ）连接A₁C，A₁C∩AC₁=O，连接OD，证明OD∥B₁C，即可证明B₁C∥平面ADC₁．

解答： 证明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，BC?底面ABC，
∴CC₁⊥BC，
∵AC=6，BC=8，AB=10，
∴BC⊥AC，
∵AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面AC₁，
∵AC₁?平面AC₁，
∴BC⊥AC₁；
（Ⅱ）连接A₁C，A₁C∩AC₁=O，连接OD，
∵点D是A₁B₁的中点，
∴OD∥B₁C，
∵B₁C?平面ADC₁，OD?平面ADC₁，
∴B₁C∥平面ADC₁．

点评：本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直的判断与证明，考查空间想象能力，逻辑推理能力．