Question

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）不等式（m²-2m-2）x²-mx+2x＜f（x）的解集为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,一元二次不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意设出二次函数f（x）表达式，解出即可；
（2）讨论m²-2m-3=0与m²-2m-3≠0，分别求m，从而求其取值范围．

解答： 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，
则由题意得，ax²+bx+c+2ax+a+b-（ax²+bx+c）=2x，c=1，
解得：f（x）=x²-x-1，
（2）原不等式可化为（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0对任意x恒成立．
（i）当m²-2m-3=0时，得m=3或m=-1，
①若m=3，原不等式可化为-1＜0，满足题意；
②若m=-1，原不等式可化为4x-1＜0，所以原不等式的解集为{x|x＜

1

4

}，不满足题意，
所以m=3．
（ii）当m²-2m-3≠0时，要使不等式的解集为R，则

m2-2m-3＜0 △=(m-3)2+4(m2-2m-3)＜0

解得，-

1

5

＜m＜3，
综上所述，m的取值范围是：（-

1

5

，3]．

点评：本题考查了二次函数的表达式的求法及恒成立问题的处理方法，属于中档题．