Question

函数E（x）定义如下：对任意x∈R，当x为有理数时，E（x）=1；当x为无理数时，E（x）=-1；则称函数E（x）为定义在实数上的狄利克雷拓展函数．下列关于函数E（x）说法错误的是（　　）

• A、E（x）的值域为{-1，1}
• B、E（x）是偶函数
• C、E（x）是周期函数且

  2

  是E（x）的一个周期
• D、E（x）在实数集上的任何区间都不是单调函数

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据E（x）是周期函数，任意的有理数a都是E（x）的周期，任意的无理数都不是E（x）的周期，从而可得结论．

解答： 解：依题意，函数E（x）=

1，x∈Q -1，x∈∁RQ

，
该函数的值域为{-1，1}，E（-x）=E（x），则E（x）是偶函数，
显然E（x）是周期函数，任意的有理数a都是E（x）的周期，任意的无理数都不是E（x）的周期．
E（x）在实数集上的任何区间都不是单调函数．
故选C．

点评：本题主要考查了狄利克雷拓展函数，以及函数的周期性和单调性与奇偶性，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，以及运算求解的能力．