Question

若函数f（x）对任意a＞0且a≠1，都有f（ax）=af（x），则称函数为“穿透”函数，则下列函数中，不是“穿透”函数的是（　　）

• A、f（x）=-x
• B、f（x）=x+1
• C、f（x）=|x|
• D、f（x）=x-|x|

Answer 1

考点：函数的对应法则

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：本题根据新函数定义进行验证，选出不符合条件的函数，即得到本题结论．

解答： 解：（1）当f（x）=-x时，
对任意a＞0且a≠1，有：
f（ax）=-ax，
af（x）=a•（-x）=-ax，
∴f（ax）=af（x），
∴函数f（x）=-x为“穿透”函数．
（2）当f（x）=x+1时；
对任意a＞0且a≠1，
f（ax）=ax+1，
af（x）=a（x+1）=ax+a，
∴f（ax）≠af（x），
∴函数f（x）=x+1不是“穿透”函数．
（3）当f（x）=|x|时；
对任意a＞0且a≠1，
f（ax）=|ax|=a|x，|
af（x）=a|x|，
∴f（ax）=af（x），
∴函数f（x）=|x|为“穿透”函数．
（4）当f（x）=x-|x|时；
对任意a＞0且a≠1，
f（ax）=ax-|ax|=ax-a|x|，
af（x）=ax-a|x|，
∴f（ax）=af（x），
∴函数f（x）=x-|x|为“穿透”函数．
选项中所列函数，不是“穿透”函数的是f（x）=x+1．
故选B．

点评：本题考查的是新函数定义的理解和应用，有一定的思维难度，属于中档题．