Question

17．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=-x²+2x．
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象；
（3）若函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的对称性，即可求函数f（x）在R上的解析式；
（2）由（1）画出函数f（x）的图象；
（3）根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）设x＜0，-x＞0，则f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x，
又f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），于是x＜0时f（x）=x²+2x，
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）

（3）要使f（x）在[-1，a-2]上单调递增，
结合f（x）的图象知$\left\{\begin{array}{l}{a-2＞-1}\\{a-2≤1}\end{array}\right.$，
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用二次函数图象和性质是解决本题的关键．