Question

7．已知数列{a_n}的满足a₁=3，其前n项和S_n=2a_n+n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和T_n，求证：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）S_n=2a_n+n（n∈N^*），n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n=2a_n-1-1，变形为：a_n-1=2（a_n-1-1），利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）n≥5时，a_n=2ⁿ+1＞2ⁿ=（1+1）ⁿ=1+${∁}_{n}^{1}$+${∁}_{n}^{2}$+…＞n（n+1）．$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$＜$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．

解答 （1）解：∵S_n=2a_n+n（n∈N^*），∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+n-（2a_n-1+n-1），
化为：a_n=2a_n-1-1，变形为：a_n-1=2（a_n-1-1），
∴数列{a_n-1}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴a_n-1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ+1．
（2）证明：n≥5时，a_n=2ⁿ+1＞2ⁿ=（1+1）ⁿ=1+${∁}_{n}^{1}$+${∁}_{n}^{2}$+…＞n（n+1）．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$＜$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和T_n≤$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{17}$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{6}）$+$（\frac{1}{6}-\frac{1}{7}）$…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=$\frac{77}{153}$-$\frac{1}{n}$＜1．
n=1，2，3，4时成立．
综上可得：T_n＜1．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、数列递推关系、等比数列的通项公式、二项式定理的应用、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．