Question

若函数f（x）和g（x）满足：①在区间[a，b]上均有定义；②函数y=f（x）-g（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上具有关系G．
（1）若f（x）=lgx，g（x）=3-x，试判断f（x）和g（x）在[1，4]上是否具有关系G，并说明理由；
（2）若f（x）=2|x-2|+1和g（x）=mx²在[1，4]上具有关系G，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）先判断它们具有关系G，再令h（x）=f（x）-g（x）=lgx+x-3，利用函数零点的判定定理判断．
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=2|x-2|+1-mx²，当m≤0时，易知h（x）在[1，4]上不存在零点，当m＞0时，h（x）=

-mx2+2x-3，2＜x≤4 -mx2-2x+5，1≤x≤2

；再分段讨论函数的零点即可．

解答： 解：（1）它们具有关系G：
令h（x）=f（x）-g（x）=lgx+x-3，
∵h（1）=-2＜0，h（4）=lg4+1＞0；
故h（1）•h（4）＜0，又h（x）在[1，4]上连续，
故函数y=f（x）-g（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，
故f（x）和g（x）在[1，4]上具有关系G．
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=2|x-2|+1-mx²，
当m≤0时，易知h（x）在[1，4]上不存在零点，
当m＞0时，h（x）=

-mx2+2x-3，2＜x≤4 -mx2-2x+5，1≤x≤2

；
当1≤x≤2时，
由二次函数知h（x）在[1，2]上单调递减，
故

-m+3≥0 -4m+1≤0

；
故m∈[

1

4

，3]；
当m∈（0，

1

4

）∪（3，+∞）时，
若m∈（0，

1

4

），则h（x）在（2，4]上单调递增，
而h（2）＞0，h（4）＞0；
故没有零点；
若m∈（3，+∞），则h（x）在（2，4]上单调递减，
此时，h（2）=-4m+1＜0；
故没有零点；
综上所述，
若f（x）=2|x-2|+1和g（x）=mx²在[1，4]上具有关系G，
则m∈[

1

4

，3]．

点评：本题考查了学生对新定义的接受能力与分段函数的应用，属于基础题．