Question

已知n∈N^*，数列{d_n}满足dn=

3+(-1)n

2

，数列{a_n}满足a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n；数列{b_n}为公比大于1的等比数列，且b₂，b₄为方程x²-20x+64=0的两个不相等的实根．
（Ⅰ）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）将数列{b_n}中的第a₁项，第a₂项，第a₃项，…，第a_n项，…删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c_n}，求数列{c_n}的前2015项和．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由数列{d_n}满足dn=

3+(-1)n

2

，可得d_2n-1+d_2n=3．即可得出a_n=3n．b₂，b₄为方程x²-20x+64=0的两个不相等的实根．且数列{b_n}为公比大于1的等比数列，解得b₂=4，b₄=16．再利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）将数列{b_n}中的第a₁项，第a₂项，第a₃项，…，第a_n项，…删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c_n}，可得数列{c_n}为：b₁，b₂，b₄，b₅，…，设数列{b_n}的前n项和为S_n．可得数列{c_n}的前2015项和=S₃₀₂₂-（b₃+b₆+…+b₃₀₂₁），利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（I）∵数列{d_n}满足dn=

3+(-1)n

2

，∴d_2n-1+d_2n=3．
∴a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n=3n．
∵b₂，b₄为方程x²-20x+64=0的两个不相等的实根．且数列{b_n}为公比大于1的等比数列，
∴b₂=4，b₄=16．
∴公比q²=

b4

b2

=

16

4

=4，解得q=2．
∴b_n=b2qn-2=4×2^n-2=2ⁿ．
综上可得：a_n=3n，b_n=2ⁿ．
（Ⅱ）将数列{b_n}中的第a₁项，第a₂项，第a₃项，…，第a_n项，…删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c_n}，
则数列{c_n}为：b₁，b₂，b₄，b₅，…，
设数列{b_n}的前n项和为S_n．
∴数列{c_n}的前2015项和=S₃₀₂₂-（b₃+b₆+…+b₃₀₂₁）
=

2(23022-1)

2-1

-

8(81007-1)

8-1

=

5×23023-13

7

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．