题目内容
已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），a+b+c=0，且f（0）f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两个根，则x12+x22的取值范围为 ．
考点：导数的运算,函数的零点
专题：导数的综合应用
分析：由求出函数的导数g′（x）=f（x）=3ax2+2bx+c，利用根与系数之间的关系得到x1+x2，x1x2的值，将|x1-x2|进行转化即可求出结论．
解答：
解：∵g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），
∴g′（x）=f（x）=3ax2+2bx+c，
∵x1，x2是方程f（x）=0的两个根，故x1+x2=-
，x1x2=
，
∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=
，
又a+b+c=0，
∴c=-a-b代入上式，
得x12+x22=
=
=
[(
)2+
•
+
]=
（
+
）2 +
，
又∵f（0）•f（1）＞0，
∴c（3a+2b+c）＞0
即-
•
＞0，
∴（a+2b）（2a+b）＜0，
∵a≠0，两边同除以a2得：（
+2）（2•
+1）＜0；
∴-2＜
＜-
，
∴
≤
（
+
）2 +
＜
∴x12+x22∈[
，
）．
故答案为：[
，
）．
∴g′（x）=f（x）=3ax2+2bx+c，
∵x1，x2是方程f（x）=0的两个根，故x1+x2=-
| 2b |
| 3a |
| c |
| 3a |
∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=
| 4b2-6ac |
| 9a2 |
又a+b+c=0，
∴c=-a-b代入上式，
得x12+x22=
| 4b2-6ac |
| 9a2 |
| 4b2+6a2+6ab |
| 9a2 |
| 4 |
| 9 |
| b |
| a |
| 3 |
| 2 |
| b |
| a |
| 3 |
| 2 |
| 4 |
| 9 |
| b |
| a |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 12 |
又∵f（0）•f（1）＞0，
∴c（3a+2b+c）＞0
即-
| a+2b |
| 3 |
| 8a+4b |
| 3 |
∴（a+2b）（2a+b）＜0，
∵a≠0，两边同除以a2得：（
| b |
| a |
| b |
| a |
∴-2＜
| b |
| a |
| 1 |
| 2 |
∴
| 5 |
| 12 |
| 4 |
| 9 |
| b |
| a |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 12 |
| 10 |
| 9 |
∴x12+x22∈[
| 5 |
| 12 |
| 10 |
| 9 |
故答案为：[
| 5 |
| 12 |
| 10 |
| 9 |
点评：本题考查根与系数的关系，着重考查韦达定理的使用，难点在于对条件“f（0）•f（1）＞0”的挖掘，充分考查数学思维的深刻性与灵活性，属于难题．
练习册系列答案
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函数y=1+4cosx-4sin2x（-
≤x≤
）的值域是（ ）
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| A、[0，8] | ||
| B、[-3，5] | ||
C、[-3，2
| ||
| D、[-4，5] |
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| D、（-∞，-1）∪（0，1） |
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| A、g（x）=x，h（x）=ln（ex+e-x+2） | ||||
B、g（x）=
| ||||
C、g（x）=
| ||||
D、g（x）=-
|