Question

设f（x）是奇函数且在（-∞，0）上是减函数，f（-1）=0则不等式xf（x）＜0的解集为（　　）

• A、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• B、（-1，0）∪（0，1）
• C、（-1，0）∪（1，+∞）
• D、（-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：本题可以利用f（x）在（-∞，0）上是减函数，f（-1）=0，得到函数有y轴左侧的图象草图，得到f（x）的相应函数值的正负情况，再根据f（x）是奇函数，得到函数有y轴右侧的图象草图，得到f（x）的相应函数值的正负情况，通过分类讨论，将不等式xf（x）＜0转化为不等式组，解不等式组，得到本题结论．

解答： 解：∵f（x）在（-∞，0）上是减函数，f（-1）=0，
∴当x＜-1时，f（x）＞0；
当-1＜x＜0时，f（x）＜0．
又∵f（x）是奇函数，
∴由图象的对称性知：
当0＜x＜1时，f（x）＞0；
当x＞1时，f（x）＜0．
若f（0）有意义，则f（0）=0．
∵不等式xf（x）＜0，
∴

x＞0 f(x)＜0

或

x＜0 f(x)＞0

，
∴x＞1或x＜-1．
故选A．

点评：本题考查了函数的单调性与对称性，函数性质与图象间关系，本题难度不大，属于基础题．