Question

4．定义在R上的函数y=f（x）是减函数，且对任意的a∈R，都有f（-a）+f（a）=0，若x、y满足不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0，则当1≤x≤4时，x-3y的最大值为（　　）

• A． 10
• B． 8
• C． 6
• D． 4

Answer 1

分析 首先根据已知条件确定函数的性质没利用函数的奇偶性和单调性求解不等式，得到x，y所满足的条件，确定可行域与目标函数，把已知问题转化为线性规划问题，利用目标函数的几何意义确定最值，求解线性规划问题，要注意结合目标函数的几何意义求解最值，该题中，目标函数Z=3x-y的几何意义是直线3x-y-Z=0在y轴上截距的相反数，所以当直线在y轴上截距最小时，对应的目标函数的最大．

解答 解：由于任意的a∈R都有f（-a）+f（a）=0，可知函数y=f（x）为奇函数，
由f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0可得f（x²-2x）≤-f（2y-y²），
由函数为奇函数可得式f（x²-2x）≤f（-2y+y²），
∵函数y=f（x）为R上的减函数，
∴x²-2x≥-2y+y²，即x²-y²-2（x-y）≥0，
整理可得，（x+y-2）（x-y）≥0，
作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{（x+y-2）（x-y）≥0}\\{1≤x≤4}\end{array}\right.$所表示的平面区域即可行域如图所示的△ABC．

令Z=x-3y，则Z表示x-3y-z=0在y轴上的截距的相反数，
由图可知，当直线经过点C（4，-2）时Z最大，最大值为Z=4-3×（-2）=10；
故选：A．

点评 本题主要考查了抽象函数的函数的单调性与函数的奇偶性的综合应用，不等式表示平面区域的确定，利用线性规划求解目标函数的最值问题．