Question

15．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=n²（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）求数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据题意和${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{s}_{1}，n=1}\\{{s}_{n}-{s}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，分别列出式子化简、验证后求出a_n；
（2）由（1）化简$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，利用裂项相消法和等差数列的前n项和公式求出前n项和T_n．

解答 解：（1）由题意得，S_n=n²（n∈N^*），
当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={n^2}-{（n-1）^2}=2n-1$，
当n=1时也符合上式，则a_n=2n-1；
（2）由（1）得，$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，
∴$\left.\begin{array}{l}{{T}_{n}=\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}}\end{array}\right.$
$\left.\begin{array}{l}{=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]}\end{array}\right.$
=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）=\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了数列的通项公式与前n项和公式之间的关系式：${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{s}_{1}，n=1}\\{{s}_{n}-{s}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，等差数列的前n项和公式，以及裂项相消法求数列的和，考查了方程思想，化简、变形能力．