Question

已知⊙M：（x+1）²+（y-2）²=4．
（1）求过点A（1，1）且与圆相切的切线方程．
（2）求过点B（13，4）且与圆相切的切线方程．
（3）求过点C（

3

-1，3）且与圆相切的切线方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：（1）由⊙M的方程，求出圆心和半径，当切线的斜率不存在时，求得切线方程；当切线的斜率存在时，设切线方程为y-1=k（x-1）．再根据圆心到切线的距离等于半径求得k=

3

4

，可得切线方程，综合可得结论．
（2）由题意可得，切线的斜率存在，用点斜式设出切线方程，再根据圆心到切线的距离等于半径求得斜率，可得要求的切线方程．
（3）根据切点C在圆上，由MC的斜率求出切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程．

解答： 解：（1）⊙M：（x+1）²+（y-2）²=4 表示以M（-1，2）为圆心，半径等于2的圆，
当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1；
当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y-1=k（x-1），即 kx-y+1-k=0．
再根据圆心到切线的距离等于半径，可得

|-k-2+1-k|

k2+1

=2，求得k=

3

4

，故切线方程为

3

4

x-y+

1

4

=0，即 3x-4y+1=0．
综上可得，过点A（1，1）且与圆相切的切线方程为x=1，或 3x-4y+1=0．
（2）由题意可得，切线的斜率存在，设过点B（13，4）且与圆相切的切线方程为 y-4=m（x-13），即 mx-y+4-13m=0，
再根据圆心到切线的距离等于半径，可得

|-m-2+4-13m|

m2+1

=2，求得m=0，或m=

7

24

，
故要求的切线方程为y=0，或7x-24y+5=0．
（3）由于切点C在圆上，MC的斜率为

3-2

3 -1+1

=

3

3

，故切线的斜率为-

3

，故切线的方程为y-3=-

3

（x-

3

+1），即

3

x+y+

3

-6=0．

点评：本题主要考查求圆的切线方程的方法，点到直线的距离公式的应用，要注意切线的斜率不存在的情况，属于基础题．