Question

如图，在矩形ABCD中，AB=

2

，BC=2，点E为BC为中点，点F在边CD上．
（1）若点F是CD的中点，则

AE

•

AF

=

 

．
（2）若

AB

•

AF

=

2

，则

AE

•

BF

的值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：（1）由向量的加法和数乘及数量积的性质，即可求出

AE

•

AF

；
（2）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，写出A，B，C，D，E的坐标，设F（x，2），则

AB

=（

2

，0），

AF

=（x，2），由条件即可得到x=1．F（1，2），再由向量的坐标公式和数量积的坐标表示，即可得到所求．

解答： 解：（1）

AE

•

AF

=（

AB

+

BE

）•（

AD

+

DF

）
=（

AB

+

1

2

BC

）•（

BC

+

1

2

AB

）
=

1

2

AB

2+

1

2

BC

2+

5

4

AB

•

BC

=

1

2

×（2+4）+0=3；
（2）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0），B（

2

，0），C（

2

，2），D（0，2），E（

2

，1），
设F（x，2），则

AB

=（

2

，0），

AF

=（x，2），
由

AB

•

AF

=

2

，

2

x=

2

，则x=1，即F（1，2），

BF

=（1-

2

，2），

AE

=（

2

，1），
则

AE

•

BF

=（

2

，1）•（1-

2

，2）=

2

（1-

2

）+2=

2

．
故答案为：3，

2

点评：本题主要考查平面向量的数量积的运算，以及向量的模的平方即为向量的平方，考查坐标法解决向量问题，属于中档题．