Question

13．正三棱锥S-ABC的外接球半径为2，底面边长AB=3，则此棱锥的体积为（　　）

• A． $\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$
• B． $\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$或$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$
• C． $\frac{{27\sqrt{3}}}{4}$
• D． $\frac{{27\sqrt{3}}}{4}$或$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$

Answer 1

分析 先画出图形，正三棱锥外接球的球心在它的高上，然后根据三角形相似解出正三棱锥的高，则棱锥体积可求．

解答 解：如图，设正三棱锥的高为h，球心在正三棱锥的高所在的直线上，H为底面正三棱锥的中心，
∵底面边长AB=3，∴AH=$\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}=\frac{2}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

当S与球心在底面ABC的同侧时，有AH²+OH²=OA²，即$（\sqrt{3}）^{2}+（h-2）^{2}={2}^{2}$，解得h=3，
棱锥的体积为V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}×3=\frac{9\sqrt{3}}{4}$；
当S与球心在底面ABC的异侧时，有AH²+OH²=OA²，即$（\sqrt{3}）^{2}+（2-h）^{2}={2}^{2}$，解得h=1，
棱锥的体积为V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}×1=\frac{27\sqrt{3}}{4}$．
∴棱锥的体积为$\frac{{27\sqrt{3}}}{4}$或$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查棱柱、棱锥及棱台的体积，考查空间想象能力和思维能力，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．