Question

1．若f（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bln（x+2）在（-1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（　　）

• A． [一l，+∞）
• B． （一1，+∞）
• C． （一∞，一1]
• D． （一∞，一l）

Answer 1

分析 求出${f}^{'}（x）=-x+\frac{b}{x+2}$，从而$\frac{b}{x+2}≤x$在（-1，+∞）上恒成立，进而b≤x（x+2），设y=x（x+2），利用构造法能求出b的取值范围．

解答 解：∵f（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bln（x+2），
∴${f}^{'}（x）=-x+\frac{b}{x+2}$，
∵f（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bln（x+2）在（-1，+∞）上是减函数，
∴${f}^{'}（x）=-x+\frac{b}{x+2}$≤0在（-1，+∞）上恒成立，
即$\frac{b}{x+2}≤x$在（-1，+∞）上恒成立，
∵x＞-1，∴x+2＞1＞0，
∴b≤x（x+2），
设y=x（x+2），则y=x²+2x=（x+1）²-1，
∵x＞-1，∴y＞-1，
∴要使b≤x（x+2）成立，则有b≤-1．
∴b的取值范围是（-∞，-1]．
故选：C．

点评 本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．