Question

18．已知$\overrightarrow{e_1}$、$\overrightarrow{e_2}$是夹角为60°的两个单位向量，$\overrightarrow a=3\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b=2\overrightarrow{e_1}-3\overrightarrow{e_2}$，求：
（Ⅰ） $\overrightarrow a•\overrightarrow b$；
（Ⅱ）|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|与|$\overrightarrow a-\overrightarrow b$|；
（Ⅲ）$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夹角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）向量的数量积公式计算出$\overrightarrow{e_1}$•$\overrightarrow{e_2}$=$\frac{1}{2}$，再根据数量积公式计算即可，
（Ⅱ）根据向量的和差计算，再根据向量的模即可求出答案，
（Ⅲ）根据向量的数量积为0，则夹角为90°

解答 解：∵$\overrightarrow{e_1}$、$\overrightarrow{e_2}$是夹角为60°的两个单位向量，
∴$\overrightarrow{e_1}$•$\overrightarrow{e_2}$=1×1×cos60°=$\frac{1}{2}$，
（Ⅰ）∵$\overrightarrow a=3\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b=2\overrightarrow{e_1}-3\overrightarrow{e_2}$，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=6${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+6${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$-13$\overrightarrow{e_1}$•$\overrightarrow{e_2}$=6+6-$\frac{13}{2}$=$\frac{11}{2}$；
（Ⅱ）∵$\overrightarrow a=3\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b=2\overrightarrow{e_1}-3\overrightarrow{e_2}$，
∴$\overrightarrow a+\overrightarrow b$=5$\overrightarrow{{e}_{1}}$-5$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$
|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|²=25${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+25${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$-50$\overrightarrow{e_1}$•$\overrightarrow{e_2}$=25+25-25=25，
|$\overrightarrow a-\overrightarrow b$|²=${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$-2$\overrightarrow{e_1}$•$\overrightarrow{e_2}$=1+1-1=1
∴|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|=5，|$\overrightarrow a-\overrightarrow b$|=1
（Ⅲ）（$\overrightarrow a+\overrightarrow b$）（$\overrightarrow a-\overrightarrow b$）=5（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=0，
∴$\overrightarrow a+\overrightarrow b$⊥$\overrightarrow a-\overrightarrow b$，
∴$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夹角为90°．

点评 本题考查了向量的数量积公式和向量的夹角公式以及向量的模，属于基础题．