Question

设函数f（x）=|x+1|+|x-a|（a＞0）．
（1）若不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤-2或x≥3}，求a的值；
（2）若不等式f（x）≥6恒成立，求a的范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（1）运用分段函数表示函数f（x），由题设知：|x+1|+|x-a|≥5，在同一坐标系中作出函数y=5的图象，当x=-2或3时，f（x）=5，且a+1＜5即a＜4，由f（-2）=5 求得a的值；
（2）由绝对值不等式的性质，可得f（x）的最小值为|a+1|，令6不大于最小值，解不等式即可得到a的范围．

解答： 解：（1）f（x）=|x+1|+|x-a|=

-2x-1+a，x＜-1 a+1，-1≤x≤a 2x+1-a，x＞a

，
函数f（x）如图所示．
由题设知：|x+1|+|x-a|≥5解集为（-∞，-2]∪[3，+∞）．
如图，在同一坐标系中作出函数y=5的图象，
由题设知，当x=-2或3时，f（x）=5，
且a+1＜5即a＜4，
由f（-2）=-2×（-2）-1+a=5，
解得a=2；
（2）由|x+1|+|x-a|≥|（x+1）-（x-a）|，
则f（x）_min=|a+1|，不等式f（x）≥6恒成立即为
|a+1|≥6，
解得a≤-7或a≥5．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立问题，函数图象的特征，体现了数形结合的数学思想，画出函数f（x）的图象，是解题的关键．