Question

已知将圆x²+y²=8上的每一点的纵坐标压缩到原来的

1

2

，对应的横坐标不变，得到曲线C；经过点M（2，1）且平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），直线l与曲线C交于A、B两个不同点．
（1）求曲线C的方程；
（2）求m的取值范围．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）在曲线C上任取一个动点P（x，y），根据图象的变换可知点（x，2y）在圆x²+y²=8上．代入圆方程即可求得x和y的关系式，即曲线C的方程．
（2）根据题意可得直线l的方程，进而与椭圆方程联立，消去y，进而根据判别式大于0求得m的范围，进而根据m≠0，最后综合可得答案．

解答： 解：（1）在曲线C上任取一个动点P（x，y），
则点（x，2y）在圆x²+y²=8上．…（3分）
所以有x²+（2y）²=8．整理得曲线C的方程为

x2

8

+

y2

2

=1．…（6分）
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，又KOM=

1

2

，
∴直线l的方程为y=

1

2

x+m．…（9分）
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1.

，得 x²+2mx+2m²-4=0…（10分）
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，…（12分）
解得-2＜m＜2且m≠0．
∴m的取值范围是-2＜m＜0或0＜m＜2．…（13分）

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的关系．考查了学生分析问题的能力及数学化归思想．