Question

对正整数n，有抛物线y²=2（2n-1）x，过P（2n，0）任作直线l交抛物线于A_n，B_n两点，设数列{a_n}中，a₁=-4，且a_n=

OAn OBn

n-1

（其中n＞1，n∈N），则数列{a_n}的前n项和T_n=（　　）

• A、4n
• B、-4n
• C、2n（n+1）
• D、-2n（n+1）

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：等差数列与等比数列,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设直线方程为x=ty+2n，代入抛物线方程得y²-2（2n-1）ty-4n（2n-1）=0，设A_n（x_n1，y_n1），B（x_n2，y_n2），则

OAn

•

OBn

=（t²+1）y_n1y_n22nt（y_n1+y_n2）+4n²，由此利用根与系数的关系能求出数列{

OAn • OBn

n-1

}的前n项和为-2n（n+1）．

解答： 解：设直线方程为x=ty+2n，
代入抛物线方程得y²-2（2n-1）ty-4n（2n-1）=0，
设A_n（x_n1，y_n1），B（x_n2，y_n2），
则

OAn

•

OBn

=x_n1x_n2+y_n1y_n2
=（t²+1）y_n1y_n22nt（y_n1+y_n2）+4n²，①，
由根与系数的关系得y_n1+y_n2=2（2n-1）t，y_n1y_n2=-4n（2n-1），
代入①式得

OAn

•

OBn

=-4n（2n-1）t²+4n²=4n-4n²，
故

OAn • OBn

n-1

=-4n（n＞1，n∈N），
故数列{

OAn • OBn

n-1

}的前n项和为-2n（n+1）．
故选：D．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，解题时要注意抛物线性质、根与系数的关系的合理运用．