Question

已知函数y=-x（x-a）．
（1）设在x∈[-1，1]上的最大值为g（a），求g（a）的解析式；
（2）解关于a的不等式g（a）≤1．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设在x∈[-1，1]上的最大值为g（a），求g（a）的解析式；
（2）解关于a的不等式g（a）≤1．

解答： 解：（1）y=f（x）=-x（x-a）=-（x-

a

2

）²+

a2

4

，对称轴为x=

a

2

，
若

a

2

≥1，即a≥2，此时函数在[-1，1]上为增函数，则函数f（x）在x∈[-1，1]上的最大值g（a）=f（1）=a-1，
若

a

2

≤-1，即a≤-2，此时函数在[-1，1]上为减函数，则函数f（x）在x∈[-1，1]上的最大值g（a）=f（-1）=-a-1，
若-2＜a＜2，函数f（x）在x∈[-1，1]上的最大值g（a）=f（

a

2

）=

a2

4

，
即g（a）=

a-1， a≥2 a2 4 ， -2＜a＜2 -a-1， a≤-2

（2）若a≥2，由g（a）≤1，得a-1≤1，解得a≤2，此时a=2，
若-2＜a＜2，由g（a）≤1，得

a2

4

≤1，解得-2≤a≤2，此时-2＜a＜2，
若a≤-2，由g（a）≤1，得-a-1≤1，解得a≥-2，此时a=-2，
综上-2≤a≤2．
即不等式的解集为[-a，a]．

点评：本题主要考查一元二次函数和一元二次不等式的求解，注意要对a进行分类讨论．