Question

如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M、N分别是面对角线A₁B和B₁D₁的中点．
（1）求证：MN⊥AB；
（2）求三棱锥N-MBC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN⊥AB．
（2）求出平面A₁BCD₁的一个法向量，从而得到N到平面A₁BCD₁的距离，由此能求出三棱锥N-MBC的体积．

解答： （1）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
则M（1，

1

2

，

1

2

），N（

1

2

，

1

2

，1），

MN

=(-

1

2

，0，

1

2

)，

AB

=（0，1，0），
∵

AB

•

MN

=0，∴MN⊥AB．
（2）设平面A₁BCD₁的一个法向量

n

=（x，y，z），

A1B

=（0，1，-1），

BC

=（-1，0，0），
由

A1B

•

n

=0，

BC

•

n

=0，得

y-z=0 -x=0

，
取y=1，得

n

=（0，1，1），
点N到平面A₁BCD₁的距离d=

| n • MN |

| n |

=

2

4

．
S_△MBC=

1

2

•BC•MB=

2

4

，
∴V_N-MBC=

1

3

S△MBC•d=

1

3

×

2

4

×

2

4

=

1

24

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥N-MBC的体积的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．