Question

已知△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边．已知：2

2

（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB，△ABC的外接圆半径为

2

，
（1）求角C和边c；
（2）求△ABC面积S的最大值并判断取得最大值时三角形的形状．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）首先利用正弦定理解出C的大小，在求出c边长．
（2）利用第一步的结论，主要对关系式进行恒等变形，再求最值，同时求出三角形的形状．

解答： 解：（1）利用正弦定理化简已知的等式得：2

2

（a²-c²）=b（a-b），
整理得：a²-c²=ab-b²，即a²+b²-c²=ab，
∵c²=a²+b²-2abcosC，即a²+b²-c²=2abcosC，
∴2abcosC=ab，即cosC=

1

2

所以：C=

π

3

由c=2RsinC=2•

2

•

3

2

=

6

（2）由（1）得：A+B=

2π

3

利用正弦定理得：a=2

2

sinA，b=2

2

sinB
所以：S△ABC=

1

2

absinC=2

3

sinAsinB=2

3

sinA（

3

2

cosA+

1

2

sinA)
=

3

sin(2A-

π

6

)+

3

2

当2A-

π

6

=

π

2

时，S△ABCmax=

3 3

2

此时A=

π

3

，由于A=C=

π

3

所以：B=

π

3

所以：△ABC为等边三角形

点评：本题考查的知识要点：三角恒等变换，正弦定理的应用，三角形面积的应用．属于基础题型．