Question

3．已知函数f（x）的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D使得f（x）：
（Ⅰ）f（x）在[m，n]上是单调函数；
（Ⅱ）f（x）在[m，n]上的值域是[2m，2n]，
则称区间[m，n]为函数f（x）的“倍值区间”．
下列函数中存在“倍值区间”的有①②④（填上所有你认为正确的序号）
①f（x）=x²； ②$f（x）=\frac{1}{x}$；③$f（x）=x+\frac{1}{x}$；   ④$f（x）=\frac{3x}{{{x^2}+1}}$．

Answer 1

分析 函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[m，n]内是单调函数，②$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2n}\\{f（n）=2m}\end{array}\right.$，对四个函数的单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”．

解答 解：函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[m，n]内是单调函数，②$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2n}\\{f（n）=2m}\end{array}\right.$，
①f（x）=x²，若存在“倍值区间”[m，n]，$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=2m}\\{{n}^{2}=2n}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=2}\end{array}\right.$，∴f（x）=x²，存在“倍值区间”[0，2]；
②f（x）=$\frac{1}{x}$（x∈R），若存在“倍值区间”[m，n]，当x＞0时，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{m}=2n}\\{\frac{1}{n}=2m}\end{array}\right.$⇒mn=$\frac{1}{2}$，故只需mn=$\frac{1}{2}$即可，故存在；
③$f（x）=x+\frac{1}{x}$；当x＞0时，在区间[0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增，若存在“倍值区间”[m，n]⊆[0，1]⇒m+$\frac{1}{m}$=2n，n+$\frac{1}{n}$=2m⇒m²-2mn+1=0．n²-2mn+1=0
⇒m²=n²不符题意；若存在“倍值区间”[m，n]⊆[1，+∞）⇒m+$\frac{1}{m}$=2m，n+$\frac{1}{n}$=2n⇒m²=n²=1不符题意，故此函数不存在“倍值区间“；
④$f（x）=\frac{3x}{{{x^2}+1}}$．$f′（x）=\frac{3（1-x）（1+x）}{（{x}^{2}+1）}$，当x∈[0，1]时，f′（x）＞0，当x∈[1，+∞）时，f′（x）＜0，在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，+∞）上单调递减，
若存在“倍值区间”[m，n]⊆[0，1]，$\frac{3m}{{m}^{3}+1}=2m.\frac{3n}{{n}^{2}+1}=2n$，∴m=0，n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即存在“倍值区间”[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]；
故答案为：①②④

点评 本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，涉及到大量的函数知识及计算，属于中档题．