Question

14．已知f（x）=log₂（1-x）-log₂（1+x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（3）求使f（x）＞0的x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$，即可求函数f（x）的定义域；
（2）定义域关于原点对称，利用奇函数的定义判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（3）由f（x）＞0得log₂（1-x）＞log₂（1+x），即可求使f（x）＞0的x的取值集合．

解答 解：（1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$，∴-1＜x＜1，
函数f（x）的定义域为（-1，1）…（4分）
（2）因为定义域关于原点对称，又f（-x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）=-f（x），
所以f（x）为奇函数；…（8分）
（3）由f（x）＞0得log₂（1-x）＞log₂（1+x），
所以1-x＞1+x，得x＜0，
而-1＜x＜1，解得-1＜x＜0，
所以使f（x）＞0的x的取值集合是{x|-1＜x＜0}…（12分）

点评 本题考查函数的定义域，考查奇函数的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．