Question

13．已知F₁，F₂分别是双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（a，b＞0）$的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F₁F₂为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． （2，+∞）
• C． $（1，\;\sqrt{2}）$
• D． $（\sqrt{2}，\;+∞）$

Answer 1

分析 不妨设F₁（0，c），F₂（0，-c），则过F₁与渐近线$y=\frac{a}{b}x$平行的直线为$y=\frac{a}{b}x+c$，联立直线组成方程组，求出M坐标，利用点与圆的位置关系，列出不等式然后求解离心率即可．

解答 解：如图1，不妨设F₁（0，c），F₂（0，-c），则过F₁与渐近线$y=\frac{a}{b}x$平行的直线为$y=\frac{a}{b}x+c$，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{a}{b}x+c\\ y=-\frac{a}{b}x\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{bc}{2a}\\ y=\frac{c}{2}\end{array}\right.$即$M（-\frac{bc}{2a}，\frac{c}{2}）$
因M在以线段F₁F₂为直径的圆x²+y²=c²内，
故${（-\frac{bc}{2a}）^2}+{（\frac{c}{2}）^2}＜{c^2}$，化简得b²＜3a²，
即c²-a²＜3a²，解得$\frac{c}{a}＜2$，又双曲线离心率$e=\frac{c}{a}＞1$，所以双曲线离心率的取值范围是（1，2）．
故选：A．

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，考查数形结合以及计算能力．