Question

8．设常数a≠0，函数$f（x）=lg\frac{x+1-2a}{x+1+3a}$．
（1）当a=1时，判断并证明函数y=f（x）在（1，+∞）上的单调性．
（2）是否存在实数a，使函数y=f（x）为奇函数或偶函数？若存在，求出a的值，并判断相应的y=f（x）的奇偶性；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，f（x）=lg$\frac{x-1}{x+4}$，利用导数法即可得出结论；
（2）假设存在，利用奇函数的定义，即可得出结论．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=lg$\frac{x-1}{x+4}$，
令y=$\frac{x-1}{x+4}$，则y′=$\frac{5}{（x+4）^{2}}$＞0，即函数y=$\frac{x-1}{x+4}$，在（1，+∞）上单调递增，
∴函数y=f（x）在（1，+∞）上单调递增；
（2）f（-x）=lg$\frac{-x+1-2a}{-x+1+3a}$，f（-x）+f（x）=0，
可得（x-1+2a）（x+1-2a）=（x-1-3a）（x+1+3a），
∴a=-2，函数是奇函数．

点评 本题考查函数的奇偶性，考查增函数的判断，考查导数法，属于中档题．