Question

10．一个正三棱柱顶点都在球面上，正三棱柱的底面是正三角形，正三角形的边长是3，正三棱柱的体积是$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，则球的体积是$\frac{32π}{3}$．

Answer 1

分析 由正三棱柱的体积为$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，求出侧棱．正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的体积

解答 解：由正三棱柱的体积为$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，得V=sh=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{3}^{2}$×2$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，解得h=2，
即正三棱柱的侧棱为2
正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为r=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×3$=$\sqrt{3}$：
所以外接球的半径为R=$\sqrt{3+1}$=2，所以外接球的体积为：v=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{32}{3}$π．
故答案为：$\frac{32π}{3}$．

点评 本题考查了正三棱柱的外接球的体积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题