Question

1．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及其对应的一个特征向量$\overrightarrow e=[\begin{array}{l}-1\\-1\end{array}]$，并且矩阵M对应的变换将点A（-1，2）变换成A'（-2，4）．
（1）求矩阵M；
（2）设直线l在M^-1对应的变换作用下得到了直线m：x-y=6，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，根据矩阵的乘法，建立方程组，即可求矩阵M；
（2）求得逆矩阵M^-1，根据矩阵变换特点，写出两对坐标之间的关系，把已知的点的坐标代入得到直线的方程，得到结果．

解答 解：（1）设二阶矩阵M=$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$，由M$\overrightarrow{e}$=λ$\overrightarrow{e}$，
即$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{-1}\\{-1}\end{array}]$=8$[\begin{array}{l}{-1}\\{-1}\end{array}]$，
则$\left\{\begin{array}{l}{a+b=8}\\{c+d=8}\end{array}\right.$，由$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{-1}\\{2}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-2}\\{4}\end{array}]$，则$\left\{\begin{array}{l}{-a+2b=-2}\\{-c+2d=4}\end{array}\right.$，
解得：a=6，b=2，c=4，d=4，
则M=$[\begin{array}{l}{6}&{2}\\{4}&{4}\end{array}]$，
（2）由M^-1=$[\begin{array}{l}{\frac{4}{24-8}}&{\frac{-2}{24-8}}\\{\frac{-4}{24-8}}&{\frac{6}{24-8}}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{\frac{1}{4}}&{-\frac{1}{8}}\\{-\frac{1}{4}}&{\frac{3}{8}}\end{array}]$，
设直线l上任意一点（x，y）在M^-1对应的变换作用下得到（x₁，y₁），
则$[\begin{array}{l}{\frac{1}{4}}&{-\frac{1}{8}}\\{-\frac{1}{4}}&{\frac{3}{8}}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{{x}_{1}}\\{{y}_{1}}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{2x-y}{8}}\\{{y}_{1}=\frac{-2x+3y}{8}}\end{array}\right.$，
代入x₁-y₁=6，整理得：x-y=12，
∴直线l的方程为x-y-12=0．

点评 本题主要考查二阶矩阵的变换，逆矩阵的求法，考查运算求解能力，属于基础题．