Question

已知函数f(x)=[sin(x+

θ

2

)+

3

cos(x+

θ

2

)]•cos(x+

θ

2

)为偶函数，且θ∈[0，π]，
（1）求θ的值；
（2）函数f （x）在区间（0，a）内有且仅有3个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先把函数进行恒等变换得到f（x）=sin(2x+θ+

π

3

)+

3

2

，进一步根据函数是偶函数的性质得到结果．
（2）根据（1）的结论得到：f（x）=cos2x+

3

2

，进一步利用函数的零点转化成求方程的根，求出a的取值范围．

解答： 解：（1）函数f(x)=[sin(x+

θ

2

)+

3

cos(x+

θ

2

)]•cos(x+

θ

2

)=

1

2

sin(2x+θ)+

3

2

[1+cos(2x+θ）]=
sin(2x+θ+

π

3

)+

3

2

函数为偶函数，则：f（-x）=f（x）对任意的实数都成立．
即sin(-2x+θ+

π

3

)=sin(2x+θ+

π

3

)得到：
sin2xcos(θ+

π

3

)=0恒成立
所以：cos(θ+

π

3

)=0 
∵θ∈[0，π]
∴θ=

π

6

（2）由（1）得：f（x）=cos2x+

3

2

函数f （x）在区间（0，a）内有且仅有3个零点，
则：令f（x）=0解得：在区间（0，a）内有且仅有3个零点的a=

7π

6

或

19π

12

故a的范围：

7π

6

≤a＜

19π

12

点评：本题考查的知识要点：三角关系式的恒等变形，偶函数性质的应用，余弦型函数单调性的应用，及函数的零点问题．