题目内容

已知矩阵M=
2a
21
，其中a∈R，若点P（1，-2）在矩阵M对应的变换下得到点P′（-4，0），如果正实数λ是矩阵M的特征值，α是对应的一个特征向量且|α|=2
13
，求向量λ的值与向量α．
考点：特征值与特征向量的计算
专题：计算题,矩阵和变换
分析：首先根据矩阵的变换列出方程式 求出实数a的值．求出M的矩阵后写出其特征多项式，令f（λ）=0，得矩阵M的特征值，再由条件可得特征值解出特征向量．
解答： 解：由
2a
21
•
1
-2
=
-4
0
，可得，2-2a=-4，解得a=3．
则M=
23
21
，则矩阵M的特征多项式为f（λ）=
.
λ-2-3
-2λ-1
.

=（λ-2）（λ-1）-6=λ2-3λ-4，
令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为-1与4．
由于正实数λ是矩阵M的特征值，则λ=4，
由特征方程组
4x-2x-3y=0
4y-2x-y=0
，解得2x=3y．
由于α是对应的一个特征向量且|α|=2
13
，
则
x2+y2
=2
13
，且2x=3y，解得，
x=6
y=4
或
x=-6
y=-4
．
故λ=4，
a
=（6，4）或（-6，-4）．
点评：本题主要考查矩阵与向量的乘法，和矩阵特征值及特征向量的求法．考查计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设函数gn（x）=1+x+
x2
2!
+
x3
3!
+…+
xn
n!
(n∈N*)，p（x）=
ex-gn(x)
x
（e是自然对数的底）
（1）当n=1时，判断函数p（x）有没有零点，并说明理由；
（2）当n=2时，求函数f（x）=
p(x)，x≠0
0，x=0
的最小值；
（3）数列{an}的通项为an=(
2
n
)n-1，前n项和为Sn，对任意正整数n，比较gn（1）与Sn+1的大小，并加以证明．
讨论函数y=
ax-1
ax+1
的单调性．
解下列不等式：
（1）log73x＜log7（4-x）；
（2）loga（2a-1）＞1（其中a＞0，且a≠1）．
计算：
（1）2（lg
2
）2+lg
2
•lg5+
(lg
2
)2-lg2+1
；
（2）2log32-log3
32
9
+log38-25log53．
甲从空间四边形的四个顶点中任意选择两点连成直线，乙也从该四边形的四个顶点中任意选择两点连成直线，则所得的两条直线互为异面直线的概率为（　　）
A、
1
2
B、
1
4
C、
1
6
D、
1
12
若a＞0且a≠1，则函数y=ax+1-1的图象恒过一定点，该定点的坐标为
 
．
已知函数f(x)=[sin(x+
θ
2
)+
3
cos(x+
θ
2
)]•cos(x+
θ
2
)为偶函数，且θ∈[0，π]，
（1）求θ的值；
（2）函数f （x）在区间（0，a）内有且仅有3个零点，求实数a的取值范围．
若双曲线
y2
a2
-
x2
b2
=1的渐近线过点M（1，2），则该双曲线的离心率为（　　）
A、
5
2
B、
6
2
C、
3
D、
5

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