Question

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的．第一个路口遇到红灯的概率是

1

4

，其余每个路口遇到红灯的概率都是

1

3

．
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第二个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）假定这名学生在第二个路口遇到红灯，求这名学生在上学路上遇到红灯的次数X的分布列及期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：应用题,概率与统计

分析：（I）这名学生在上学路上到第二个路口时首次遇到红灯是指事件“这名学生在第一个路口没有遇到红灯，在第二个路口遇到红灯”，从而可求概率；
（II）确定变量的取值，根据独立重复试验的概率模型求出相应的概率，即可求X的分布列及期望．

解答： 解：（Ⅰ）设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件A，则所求概率为P（A）=

3

4

×

1

3

=

1

4

．…（4分）
（Ⅱ）因为由假定知道这名学生在第二个路口一定遇到红灯，所以上学路上遇到红灯的次数X的所有可能取值为1，2，3，4，…（6分）
对应的概率分别为：
P（X=1）=

3

4

×

2

3

×

2

3

=

12

36

，P（X=2）=

1

4

×

2

3

×

2

3

+

3

4

×

C

1 2

×

1

3

×

2

3

=

16

36

，
P（X=3）=

1

4

×

C

1 2

×

1

3

×

2

3

+

3

4

×

C

2 3

×(

1

3

)2=

7

36

，P（X=4）=

1

4

×

1

3

×

1

3

=

1

36

∴X的分布列为

X	1	2	3	4
P	12 36	16 36	7 36	1 36

…（10分）
∴EX=1×

12

36

+2×

16

36

+3×

7

36

+4×

1

36

=

23

12

．…（12分）

点评：本题以实际问题为载体，考查相互独立事件的概率，离散型随机变量的期望与方差，考查学生分析解决问题的能力．