题目内容
已知函数f（x）=
（x∈R）．
（1）判定函数f（x）的奇偶性；
（2）判定函数f（x）在R上的单调性，并证明．
| 2x-1 |
| 2x+1 |
（1）判定函数f（x）的奇偶性；
（2）判定函数f（x）在R上的单调性，并证明．
考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判定函数f（x）的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在R上的单调性．
（2）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在R上的单调性．
解答：
解：（1）函数f（x）的定义域为R，
f（-x）=
=
=-
=-f（x），
故函数f（x）是奇函数；
（2）函数f（x）在R上的单调递增．
证明：设x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=
-
=
=
，
∵x1＜x2，
∴2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
即函数f（x）在R上的单调递增．
f（-x）=
| 2-x-1 |
| 2x+1 |
| 1-2x |
| 2x+1 |
| 2x-1 |
| 2x+1 |
故函数f（x）是奇函数；
（2）函数f（x）在R上的单调递增．
证明：设x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=
| 2x1-1 |
| 2x1+1 |
| 2x2-1 |
| 2x2+1 |
| (2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1) |
| (2x1+1)(2x2+2) |
| 2(2x1-2x2) |
| (2x1+1)(2x2+1) |
∵x1＜x2，
∴2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
即函数f（x）在R上的单调递增．
点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用定义法是解决本题的关键．
练习册系列答案
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