Question

已知函数f（x）=

1-x

-

1+x

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在定义域内是增函数还是减函数？请说明理由；
（3）已知a＞0，a≠1，解关于x不等式：f[log_a（2^x+1）]+2cos

5π

12

＜0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇、偶函数的定义进行判断；
（2）根据函数的单调性进行判断；
（3）分情况进行讨论．

解答： 解：（1）因为f（x）的定义域为[-1，1]，
∴f（-x）=

1+x

-

1-x

=-（

1-x

-

1+x

_=-f（x），
所以函数f（x）是奇函数．
（2）设-1≤x₁＜x₂≤1，
∴f（x₁）-f（x₂）=（

1-x1

-

1+x1

)-(

1-x2

-

1+x2

)-（

1-x2

-

1+x2

）=

2(x2-x1)

( (1-x1 + 1+x1 )( 1-x2+ 1+x2)

∴分母为正，分子2（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
函数f（x）在定义域[-1，1]上是单调减函数．
（3）令t=

1-x

-

1+x

，不等式：f[log_a（2^x+1）]+2cos

5π

12

＜0可化为：

1-t

-

1+t

＜-2cos

5π

12

，
两边平方化简得：t2＞

1

4

，所以t＜-

1

2

或t＞

1

2

当a＞1时，
log_a（2^x+1）]＜-

1

2

或log_a（2^x+1）]+》

1

2

解集为{x|log2(

a

-1)＜x≤log2(a-1)}；
当0＜a＜1时，解集为空集．

点评：本题主要考查函数的奇偶性，单调性，对数有关的不等式，属于中档题．