Question

已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）；
（2）设g（x）=f（x）+（2-m）x+2m-1，已知g（x）在[0，1]上有且只有一个零点，求m的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数零点的判定定理

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得．
（2）令g（x）=0，则有x²-（m-1）x+2m=0，分类讨论：1）当方程x²-（m-1）x+2m=0在[0，1]上有两个相等的实根时，矛盾；2）当方程x²-（m-1）x+2m=0有两个不相等的实根时，分3种情况来考虑即可．

解答： 解：（1）设y=f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x
∴c=1；a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2x
∴2a=2，a+b=0，解得a=1，b=-1，
∴函数f（x）的表达式为f（x）=x²-x+1；
（2）∵g（x）=f（x）+（2-m）x+2m-1，
令g（x）=0，则有x²-（m-1）x+2m=0
1）当方程x²-（m-1）x+2m=0在[0，1]上有两个相等的实根时，
△=（m-1）²-8m=0且0＜

m-1

2

＜1，此时无解．
2）当方程x²-（m-1）x+2m=0有两个不相等的实根时，
①有且只有一根在[0，1）上时，有f（0）f（1）＜0，即2m（m+2）＜0，解得-2＜m＜0，
②当f（0）=0时，m=0，f（x）=x²+x=0，解得x₁=0，x₂=-1，符合题意．
③f（1）=0时，m=-2，方程可化为x²+3x-4=0，解得x₁=1，x₂=-4，符合题意，
综上可得，实数m的取值范围为：[-2，0]．

点评：本题考查二次函数的解析式的求法：待定系数法，考查二次方程根的分布，考查分类讨论的思想方法，同时考查零点存在定理，属于中档题．