Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，M（0，b），N（a，0），

MF1

•

MF2

=2，|

F2N

|=1，
（1）求椭圆方程；
（2）过圆x²+y²=1上任一点P作该圆的切线，交椭圆于A，B两点，求|AB|的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,圆的切线方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用M（0，b），N（a，0），

MF1

•

MF2

=2，|

F2N

|=1，建立方程，求出a，b，c，即可求椭圆方程；
（2）设直线为y=kx+m，与圆相切可得m²=k²+1，直线代入椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式，即可求|AB|的取值范围．

解答： 解：（1）∵M（0，b），N（a，0），

MF1

•

MF2

=2，|

F2N

|=1，
∴（-c，-b）•（c，-b）=2，a-c=1，
∴a=2，c=1，b=

3

，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设直线为y=kx+m，与圆相切可得m²=k²+1，
直线代入椭圆方程可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x1+x2=- 8km 4k2+3 x1x2= 4m2-12 4k2+3 △＞0

，
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=4

(1+k2)(9k2+6) (4k2+3)2

令t=k2+

3

4

，则|AB|=

9+ 3 2t - 9 16t2

∴|AB|∈[3，

4 6

3

]．

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查弦长公式，属于中档题．